Ingenierias; UE EngStartUp, curso 2013-2014: La verdadera clasificación de la liga

Al ser la liga una cosa de dos (en los últimos años) se plantea si existe alguna forma de premiar la victoria contra un equipo fuerte, y que no sean solamente tres puntos Se propone una nueva alternativa de clasificación por puntos en la que se cuentan también la obtención de puntos contra equipos fuertes.

La clasificación final de la liga española en la temporada 2010/2011 aparece en la tabla siguiente.

Equipo	J	G	E	P	GF	GC	Dif	Puntos
1. FC Barcelona	38	30	6	2	95	21	+74	96
2. Real Madrid CF	38	29	5	4	102	33	+69	92
3. Valencia CF	38	21	8	9	64	44	+20	71
4. Villarreal CF	38	18	8	12	54	44	+10	62
5. Sevilla FC	38	17	7	14	62	61	+1	58
6. Athletic Club	38	18	4	16	59	55	+4	58
7. Atlético de Madrid	38	17	7	14	62	53	+9	58
8. RCD Espanyol	38	15	4	19	46	55	-9	49
9. CA Osasuna	38	13	8	17	45	46	-1	47
10. Sporting de Gijón	38	11	14	13	35	42	-7	47
11. Málaga CF	38	13	7	18	54	68	-14	46
12. Racing de Santander	38	12	10	16	41	56	-15	46
13. Real Zaragoza	38	12	9	17	40	53	-13	45
14. Levante UD	38	12	9	17	41	52	-11	45
15. Real Sociedad	38	14	3	21	49	66	-17	45
16. Getafe CF	38	12	8	18	49	60	-11	44
17. RCD Mallorca	38	12	8	18	41	56	-15	44
18. Deportivo de La Coruña	38	10	13	15	31	47	-16	43
19. Hércules CF	38	9	8	21	36	60	-24	35
20. UD Almería	38	6	12	20	36	70	-34	30

Sistema de clasificación:

Ordenamos los equipos por orden alfabético

1 = Almería, 2 = Athletic Club, 3 = Atlético de Madrid, 4 = Barcelona, 5 = Deportivo,

6 = Espanyol, 7 = Getafe, 8 = Hércules, 9 = Levante, 10 = Málaga, 11 = Mallorca,

12 = Osasuna, 13 = Racing, 14 = Real Madrid, 15 = Real Sociedad, 16 = Sevilla,

17 = Sporting, 18 = Valencia, 19 = Villarreal, 20 = Zaragoza.

Asignamos así un código a cada uno de ellos. Formamos la matriz $A = (a_{ij})_{i,j=1,\ldots 20}$ , donde $a_{ij}$ es el número de puntos que el equipo $i$ ha obtenido contra el equipo $j$ en los dos enfrentamientos de ida y vuelta. Evidentemente, $a_{ii}= 0$ para todo $i=1,\ldots , 20$ .

Por ejemplo, el valor de $a_{1,5}$ es el resultado de los enfrentamientos entre Almería y Deportivo. En el partido de ida el resultado fue Almería 1 – Deportivo 1, y en el de vuelta Deportivo 0 – Almería 2. Por tanto, $a_{1,5} = 1+3$ y $a_{5,1} = 1+0$ . La temporada 2010/2011 produjo la siguiente matriz:

$A=\left( \begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0 & 0 & 2 & 0 & 4 & 3 & 0 & 4 & 0 & 1 & 3 & 4 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 6 & 0 & 3 & 0 & 0 & 3 & 4 & 6 & 6 & 2 & 3 & 6 & 6 & 0 & 3 & 3 & 4 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 6 & 1 & 4 & 3 & 3 & 3 & 6 & 6 & 1 & 0 & 6 & 1 & 3 & 1 & 3 & 6 \\ 6 & 6 & 6 & 0 & 4 & 6 & 6 & 3 & 4 & 6 & 4 & 6 & 6 & 4 & 3 & 4 & 4 & 6 & 6 & 6 \\ 1 & 6 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 & 3 & 3 & 4 & 4 & 2 & 3 & 1 & 3 & 2 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 0 & 3 & 0 & 6 & 4 & 3 & 3 & 3 & 3 & 1 & 0 & 3 & 3 & 3 & 1 & 0 & 3 \\ 6 & 1 & 1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 4 & 3 & 1 & 3 & 4 & 3 & 0 & 1 & 6 & 3 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 3 & 3 & 1 & 1 & 0 & 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 6 & 3 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ 6 & 0 & 3 & 1 & 3 & 3 & 3 & 3 & 0 & 3 & 1 & 4 & 4 & 1 & 4 & 0 & 2 & 1 & 3 & 0 \\ 4 & 2 & 3 & 0 & 1 & 3 & 4 & 3 & 3 & 0 & 3 & 0 & 6 & 0 & 3 & 1 & 6 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 0 & 1 & 1 & 3 & 3 & 4 & 4 & 3 & 0 & 4 & 0 & 1 & 3 & 4 & 0 & 3 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 1 & 6 & 1 & 6 & 1 & 0 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 4 & 0 & 3 & 4 & 3 & 4 & 1 & 0 & 6 & 3 & 0 & 0 & 3 & 4 & 1 & 1 & 1 & 4 \\ 4 & 6 & 6 & 1 & 4 & 6 & 6 & 6 & 4 & 6 & 4 & 3 & 6 & 0 & 6 & 6 & 3 & 6 & 6 & 3 \\ 4 & 3 & 0 & 3 & 3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 3 & 3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 0 & 3 & 6 & 4 & 1 & 3 & 1 & 0 & 6 & 0 & 3 & 6 & 3 & 6 \\ 4 & 1 & 3 & 1 & 2 & 3 & 3 & 4 & 2 & 0 & 6 & 3 & 4 & 3 & 0 & 3 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 6 & 6 & 4 & 0 & 6 & 4 & 6 & 6 & 4 & 6 & 3 & 1 & 4 & 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 4 & 1 \\ 4 & 6 & 3 & 0 & 3 & 6 & 3 & 4 & 3 & 4 & 4 & 3 & 4 & 0 & 3 & 3 & 2 & 1 & 0 & 6 \\ 4 & 3 & 0 & 0 & 4 & 3 & 4 & 1 & 6 & 3 & 3 & 1 & 1 & 3 & 3 & 0 & 2 & 4 & 0 & 0 \end{array} \right)$

Vamos a asignar a cada equipo un número $x_i,\ i=1,2,\ldots ,20$ que mida su fortaleza. Cada fila $i$ de la matriz $A$ contiene el comportamiento del equipo $i$ durante el campeonato. Por ejemplo, la suma de los valores de cada fila nos proporciona su puntuación final. Si para ciertos equipos $j$ y $k$ se tiene que $x_j > x_k$ , entonces diremos que el equipo $j$ es más fuerte que el $k$ . Si $a_{ij}=a_{ik}$ , es decir, el equipo $i$ ha obtenido los mismos puntos tras enfrentarse a los equipos $j$ y $k$ , la aportación $a_{ij}x_j$ será mayor que $a_{ik}x_k$ , lo que traduce el valor añadido que queríamos dar a los puntos obtenidos contra un rival más fuerte. Por ejemplo, Osasuna obtuvo en total 3 puntos en sus enfrentamientos contra Español y Real Madrid (entradas $a_{12,6}= a_{12,14}= 3$ ), y queremos valorar más los obtenidos contra Real Madrid. Una forma de agrupar todas las aportaciones es sumando, y esa suma queremos que sea proporcional a la fortaleza del equipo. Entonces, para una cierta constante de proporcionalidad $\lambda$ , llegamos a las siguientes igualdades:

$\displaystyle\sum_{j=1}^{20} a_{ij}x_{j}=\lambda x_i$ , para cada $i=1,2,\ldots , 20$ .

Las expresiones anteriores se pueden escribir de una forma más compacta como:

$Ax=\lambda x$ . donde $x=\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_{20}\end{array}\right)$

En concreto, $x$ es un autovectorasociado al autovalor $\lambda$ de la matriz $A$ . Pues a calcular y a ver qué pasa.

El autovalor que buscamos debe ser positivo, y tener un autovector asociado con todas sus componentes positivas.

Teorema de Perron-Frobenius:

Llamamos radio espectral de una matriz al máximo de los módulos de sus autovalores. Está claro que las entradas de la matriz $A$ son no negativas. Pues el teorema de Perron-Frobenius nos dice que su radio espectral $\rho (A)$ es ya un autovalor de $A$ . Por tanto, hemos conseguido un autovalor $\lambda=\rho (A)$ no negativo. Un simple cálculo nos permite comprobar que $A^2$ tiene todas sus entradas positivas. Desde el punto de vista técnico esto quiere decir que $A$ es irreducible y primitiva. De nuevo, el teorema de Perron-Frobenius afirma que $\lambda$ es mayor que cero, que los demás autovalores de $A$ son estrictamente menores que $\lambda$ , que este autovalor tiene multiplicidad algebraica igual a 1, y existe un autovectorasociado $v$ con todas sus componentes positivas. En otras palabras, lo que estábamos buscando.

Nueva clasificación

Obtenemos $\lambda = 48.2925$ , y el autovector asociado

$v$ = ( 0.123113, 0.216073, 0.22506, 0.402873, 0.178733, 0.189682, 0.170143, 0.151914, 0.178335, 0.174389, 0.182541, 0.199099, 0.178927, 0.37778, 0.18599, 0.239823, 0.198116, 0.268654, 0.239892, 0.185083, )

La entrada $x_1$ es la fortaleza del Almería, y la entrada $x_4$ es la fortaleza del Barcelona. Ordenamos los valores de las entradas $x_i$ en el vector $x$ de mayor a menor, y la comparamos con la clasificación por puntos, tal como aparece en la tabla.

Perron-Frobenius	Puntos
1. Barcelona	Barcelona
2. Real Madrid	Real Madrid
3. Valencia	Valencia
4. Villarreal	Villarreal
5. Sevilla	Sevilla
6. Atl. Madrid	Athl. Club
7. Athl. Club	Atl. Madrid
8. Osasuna	Español
9. Sporting	Osasuna
10. Español	Sporting
11. R. Soc.	Málaga
12. Zaragoza	Racing
13. Mallorca	Zaragoza
14. Racing	Levante
15. Depor.	R. Soc.
16. Levante	Getafe
17. Málaga	Mallorca
18. Getafe	Depor.
19. Hércules	Hércules
20. Almería	Almería

Tabla 2: Comparativa de las clasificaciones

¿Qué ha cambiado con respecto al sistema tradicional de clasificación de la liga? En los primeros lugares, que juegan competiciones internacionales, no hay cambios, salvo la permuta del Atlético de Madrid y el Athletic Club, donde había igualdad de puntos. Al final de la tabla la cosa es diferente. El Deportivo se libra del descenso a segunda división. En su lugar va el Getafe. En la mitad de la tabla hay algunas variaciones. En particular, hay un gran salto del Málaga desde el puesto 11 en la clasificación por puntos al 17 por la ordenación del vector v. Esto procede del hecho de que el equipo no ha obtenido buenos resultados contra equipos fuertes. Como es lógico, donde hay cambios es en la zona de la tabla donde hay gran igualdad de puntos.

La conclusión final de todo esto es mostrar un ejemplo de cómo se puede modelizar el concepto de fortaleza de un objeto con respecto a otros, y establecer una ordenación por ese criterio.

Ingenierias; UE EngStartUp, curso 2013-2014

lunes, 17 de marzo de 2014

La verdadera clasificación de la liga

Sistema de clasificación:

Teorema de Perron-Frobenius:

Nueva clasificación

La conclusión final de todo esto es mostrar un ejemplo de cómo se puede modelizar el concepto de fortaleza de un objeto con respecto a otros, y establecer una ordenación por ese criterio.

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